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  • 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+,善于思考的小明进行了以下探索:
    设a+b=(m+n(其中abmn均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,
    ∴a= m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法.
    请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
    (1)当abmn均为正整数时,若a+b=(m+n,用含mn的式子分别表示ab,得:a=          ,     b=             
    (2)利用所探索的结论,找一组正整数abmn填空:        +        =(         
    (3)若a+4=(m+n,且amn均为正整数,求a的值.

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  • 如果(x﹣4)2=25,那么x的值是(    ).

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  • 观察下列各式:2+=22×,3+=32×,4+= 42×,…,10+=102×,求的值。

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  • 阅读理解
    我们知道:多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2 的形式,这就是将多项式a2+6a+9因式分解,当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时,我们通常采用下面的方法: a2+6a+8=(a+3)2-1= (a+2) (a+4) 请仿照上面的方法,将下列各式因式分解:
    (1)x2-6x-27;    
    (2)a2+3a-28
    (3)x2-(2n+1)x+n2+n

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  • 若10m=9,10n=3,则102m﹣3n的值为(    )。

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  • 如果1﹣+=0,那么等于
    [     ]
    A.﹣2
    B.﹣1
    C.1
    D.2

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  • 探究与发现:
    “已知:,求的值”。某同学是这样解答的:
    因为,所以
    ,所以
    从而。仿照此法或者用该结论,(也可不用此法,用你自己想到的方法作答)
    解答下列问题:已知,
    (1)分别求出的值;
    (2)通过解答你发现了什么?再写两个等式来示意你的发现(不需要证明)。

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  • 队形设计:为迎接外国使节来访,仪仗队某小组进行队列造型设计,首先组长让全体队员排成一个方阵(即行与列的人数一样多的队形),人数正好够,然后组长又继续组织了几个队形的变化,最后一个造型需要5人一组,手拿鲜花变换队形.在讨论分组方案时,一组员说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人.同学们,你们说一说这可能吗?为什么?

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  • 如图(1),在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分剪成两个梯形,再拼成一个大梯形(如图2)
    (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积,从而验证了公式         
    (2)请你重新分割图形(1),拼成一个新的图形来验证上面的公式         

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  • 乘法公式的探究及应用
    (1)如图1,可以求出阴影部分的面积是_________(写成两数平方差的形式);
    (2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是_________,长是_________,面积是_________(写成多项式乘法的形式);
    (3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式_________
    (4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
    ①10.2×9.8,
    ②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p).

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  • 乘法公式的探究及应用
    (1)如左图,可以求出阴影部分的面积是_____ (写成两数平方差的形式);
    (2)如右图,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是_____ ,长是_____ ,面积是____ (写成多项式乘法的形式)
    (3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式_____ (用式子表达)
    (4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
        ②

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  • 乘法公式的探究及应用
    (1)如左图,可以求出阴影部分的面积是_____(写成两数平方差的形式);
    (2)如右图,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是_____,长是_____,面积是_____(写成多项式乘法的形式)
    (3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式_____(用式子表达)
    (4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
              

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  • (1)计算:(x+1)(x+2)=__________;
    (x+3)(x-1)= __________;
    (2)参考上面计算后填空:
    (x+a)(x+b)=x2+(           )x+(             );
    (3)运用(2)的结论,分解下列因式:
    x2-3x-10=(          )(            )。

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  • 探究应用
    (1)计算:
    ①(a-2)(a2 + 2a + 4)      
    ②(2x-y)(4x2 + 2xy + y2
    (2)上面的整式乘法计算结果很简洁,你能发现一个新的乘法公式:_____(请用含a、b的字母表示)。
    (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是(     )
    A.(a-3)(a2-3a + 9)
    B.(2m-n)(2m2 + 2mn + n2
    C.(4-x)(16 + 4x + x2
    D.(m-n)(m2 + 2mn + n2
    (4)直接用公式写出计算结果:
    (3x - 2y)(9x2 + 6xy + 4y2)= _____
    (2m-3)(4m2 +_____ + 9)= _____

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  • 在数学活动中,小明为了求的值(结果用n表示).设计如图所示的几何图形.
    (1)请你利用这个几何图形求的值为_________
     

    (2)请你利用下图,再设计一个能求的值的几何图形.

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  • 如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,再将其中的一个正方形剪成四个小正方形,如此继续下去,…,请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题.
    (1)将下表填写完整;
    (2)an= _________ (用含n的代数式表示);
    (3)按照上述方法,能否得到2009个正方形?如果能,请求出n;如果不能,请简述理由.

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  • 观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:
    (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式;
    (2)根据上面算式的规律,请计算:1+3+5…+199= _________

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  • 研究下列图形的个数
    图(1)中有 _________ 个小正方形;
    图(2)中有 _________ 个小正方形;
    图(3)中有 _________ 个小正方形;
    图(4)中有 _________ 个小正方形;
    根据上面的规律,那么,图(6)中有 _________ 个小正方形.

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  • 探索:在图1至图3中,已知△ABC的面积为a,
    (1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为S1,则S1=   (用含a的代数式表示)
    (2)如图2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若△DEC的面积为S2,则S2=      (用含a的代数式表示)
    (3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图3).若阴影部分的面积为S3,则S3=        (用含a的代数式表示)
    并运用上述(2)的结论写出理由.发现:像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图3),此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的       
    应用:要在一块足够大的空地上栽种花卉,工程人员进行了如下的图案设计:首先在△ABC的空地上种红花,然后将△ABC向外扩展三次(图4已给出了前两次扩展的图案).在第一次扩展区域内种谎话,第二次扩展区域内种紫花,第三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域(即△ABC)的面积是10平方米,请你运用上述结论求出:
    ①种紫花的区域的面积;
    ②种蓝花的区域的面积.

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  • 观察下面给出的图形,探究图形中的点的个数变化规律,并填表:

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  • 如图,用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形,探究并解答下列问题.
    (1)在第1个图中,共有白色瓷砖_________.
    (2)在第2个图中,共有白色瓷砖_________.
    (3)在第3个图中,共有白色瓷砖_________.
    (4)在第10个图中,共有白色瓷砖_________.
    (5)在第n个图中,共有白色瓷砖_________.

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  • 一张长方形桌子可坐6 人,按下图方式将桌子拼在一起。
    (1 )2 张桌子拼在一起可坐        人。3 张桌子拼在一起可坐       人, ……  ,n 张桌子拼在一起可坐                   人。
    (2 )一家餐厅有40 张这样的长方形桌子,按照上图方式每5 张桌子拼成1 张大桌子,则40 张桌子可拼成8 张大桌子,共可坐                人。

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  • 探索规律:用棋子按下面的方式摆出正方形
    (1)按图示规律填写下表:
    (2)按照这种方式摆下去,摆第n个正方形需要多少个棋子.

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  • 实践与应用:一个西瓜放在桌子上用刀切下去,一刀可以切成2块,2刀最多可以切成4块;3刀最多可以切成7块,4刀最多可以切成11块(如图).
    上述问题转化为数学模型实际上就是n条直线最多把平面分成几块的问题,有没有规律呢?请先进行试验,然后回答以下问题
    (1)填表
    (2)设n条直线把平面最多分成的块数是S,请写出S关于n的表达式.(不需要解题过程)

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  • 在数学活动中,小明为了求的值(结果用n表示).设计如图所示的几何图形。
    (1)请你利用这个几何图形求的值为(     ) 。
    (2)请你利用下图,再设计一个能求的值的几何图形。

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  • 观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第16个图形共有 _________ 个五角星.

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  • 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和、现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形:
    再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、…相应长方形的周长如下表所示:
    仔细观察图形,上表中的x=(    ),y=(    ).若按此规律继续作长方形,则序号为⑧的长方形周长是(    ).

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  • 下面是按照一定规律画出的一系列“树枝”经观察,图(2)比图(1)多出2个“树枝”, 图(3)比图(2)多出4个“树枝”,图(4)比图(3)多出8个“树枝”,按此规律:
    图(5)比图(4)多出            个树枝;
    图(6)比图(5)多出            个树枝;
    图(8)比图(7)多出            个树枝;

    图(n+1)比图(n)多出          个树枝.

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  • 正四面体分别写有1、2、3、4四个数字。现在有三个四面体,请问哪一个和其它两个不同?

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  • 用相同长度的火柴棒摆成如图连在一起的正方形,摆n个,要多少根火柴?你认真分析,写理由以及结果(用n的式子表示结果)
    理由________________________,结果__________________。

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